Rekursionsformeln für die Bernoulli-Zahlen

1) Zunächst soll gezeigt werden, wie aus der Rekursion für die Potenzsummen auch eine Rekursion für die Bernoulli-Zahlen gewonnen werden kann.

Auf der Webseite
http://de.wikipedia.org/wiki/Faulhabersche_Formel
findet man folgende Definition für die Bernoulli-Zahlen βj (Einige Bezeichnungen wurden geändert):


Verallgemeinert man diese Gleichung auf eine allgemeine Variable

 

dann ergibt sich

  Aus der Nici-Formel und der Rekursionsformel (1)  für die


ergibt sich, dass jede Potenzsumme den Faktor n(n+1) enthält,  d.h. es muss

sein, und aus (2) folgt deshalb

Zusammen mit

ist dies eine Rekursionsformel für die Bernoulli-Zahlen.

2) Es ist nun möglich, aus dieser Rekursionsformel die Beziehung

und weitere Rekursionsformeln herzuleiten.

Eine dieser Formeln ist

(der Beweis wird noch nachgeliefert)

Zur Berechnung der Bernoulli-Zahlen mit Hilfe von  (5) werden nur noch die Zahlen


und nicht mehr alle Bernoulli-Zahlen

benötigt wie bei  (3).

Die Koeffizienten  in (5) werden durch


definiert, sodass für diese Koeffizienten zumindest eine Beziehung dieselbe ist wie für die Binomialkoeffizienten:


Deshalb lässt sich für diese Koeffizienten ein Dreieck konstruieren, das dieselbe Konstruktionsvorschrift wie das Pascalsche Dreieck für die Binomialkoeffizienten hat.

Um mit Hilfe eines solchen Dreiecks nicht nur die Koeffizienten in der Gleichung (5), sondern die Bernoulli-Zahlen selbst berechnen zu können, wird folgende Darstellung gewählt (siehe das Dreieck unten):

1) In der ersten Spalte stehen die Zahlen


   Diese Zahlen sind unterstrichen.

2) In der 2k-ten Zeile und (k+1)-ten Spalte stehen die Zahlen


   Diese Zahlen sind ebenfalls unterstrichen.

Die Zahlen aus 1) und 2) bilden die Begrenzung des Dreiecks.

3) Jede weitere Zahl in dem unten stehenden Dreieck ergibt sich als Summe der darüber       liegenden Zahl und der weiter links oben stehenden Zahl. 

 Beispiele: 4 = 3+1; 9 = 5+4; 77 = 50+27; usw.

In der n-ten Zeile und r-ten Spalte des so konstruierten Dreiecks steht dann die Zahl


wobei  0 < r < r0 und r0  die ganzzahlige der beiden Zahlen

Das Dreieck sieht dann folgendermaßen aus:


Zur Berechnung der Bernoulli-Zahlen:

Dazu werden nur die Zahlen in jeder zweiten Zeile benötigt, die deshalb fett gedruckt sind.

Um

zu berechnen (k = 2,3,4,,...), wird in der 2k-ten Zeile die am weitesten rechts stehende Zahl (2k+1) mit der daneben stehenden Bernoulli-Zahl (14) multipliziert,

von der Zahl (2k+1) ausgehend die übernächste (fett gedruckte) Zahl in der nach links oben führenden Diagonalen mit der entsprechenden (rechts stehenden) Bernoulli-Zahl multipliziert,

wieder die übernächste (fett gedruckte) Zahl in der nach links oben führenden Diagonalen mit der entsprechenden (rechts stehenden) Bernoulli-Zahl multipliziert, usw.

Schließlich werden alle so entstehenden Produkte addiert und die Summe gleich Null gesetzt (Man sieht das bei den Gleichungen, die rechts von dem Dreieck stehen, vorgeführt).

Mit der daraus folgenden Gleichung kann die Bernoulli-Zahl (14) berechnet werden, weil sie die einzige Unbekannte dieser Gleichung ist.

Zur Kontrolle:


Wolfgang Hecht, Sept. 2009